Problema 52: Geometría

Problema: 

Un triángulo isósceles se inscribe  en una  circunferencia de radio 4 cm. Exprese el área del triángulo en función de su altura  y del ángulo que forma el vértice, el radio  y el lado  del triángulo.

Solución:
Primero dibujamos la figura y obtenemos lo siguiente:

Ahora hay que dibujar la altura del triángulo y también el ángulo que nos piden y nos queda así:

Sabemos que el área del triángulo es b·h/2 así que debemos expresar a "b" en función del ángulo

Podemos usar la ley de los senos, la cual en el caso de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia se cumple la siguiente relación:
$$ \frac{a}{sen(A)} = \frac{b}{sen(B)} = \frac{c}{sen(C)} =2R$$
donde R = radio de la circunferencia 

En este problemas obtendríamos lo siguiente:
 $$\frac{b}{sen(2\theta)}=2(4)=8 \\ b=8sen(2\theta)$$

Por lo tanto el área del triángulo sería:
$$A= \frac{b\cdot h}{2}= \frac{8\cdot sen(2\theta)\cdot h}{2}=4 sen(2\theta)\cdot h $$ 

Saludos! y Donen si pueden