Problema 48: Álgebra

Problema:

Determine los valores de la constante k de manera que el siguiente sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones.

8kx - 6y = 0 
8x + (k - 7)y = 0


Solución:
Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones, una ecuación debe ser un múltiplo de la otra. 

Primer forma:
En este caso queremos que al dividir 8kx - 6y entre 8x + (k - 7)y el residuo sea cero:

Aquí el residuo es:
$$-(k^2-7k)y-6y=-(k^2-7k+6)y$$

Queremos que sea cero:
$$-(k^2-7k+6)y=0\\ \text{Entonces como "y" puede ser cualquier valor, }k^2-7k+6 \text{ debe ser cero}\\k^2-7k+6=(k-6)(k-1)=0\\k-6=0\to k_1=6\\k-1=0\to k_2=1$$

Segunda forma:
Para que tenga infinitas soluciones el sistema, una ecuación debe ser un múltiplo de la otra. En este caso podemos observar que sólo hay que multiplicar a la segunda ecuación por "k" para que el coeficiente de las "x" sea igual, ambas ecuaciones sean iguales y obtener lo siguiente:
8kx - 6y = k(8x + (k - 7)y)
8kx - 6y = 8kx + k(k - 7)y
-6y = k(k - 7)y
-6 = k(k - 7)
k² - 7k + 6 = 0
(k - 6)(k - 1) = 0
k -  6 = 0
k₁ = 6

k - 1 = 0
k₂ = 1

Saludos! y Donen si pueden