Problema 117: Razonamiento Matemático

Problema:

Si para un juego se arman grupos de 3 sobran dos, si se arman grupos de a 5 sobran 4 y si se arman grupos de a 4 no sobra ninguno. Si hay menos de 50 alumnos en el grupo ¿cuantos alumnos juegan? ¿y si hubieran entre 50 y 100? ¿y entre 150 y 200?

Solución:

x = número de alumnos en el grupo

Si se arman grupos de 3 sobran 2, entonces si dividimos x + 1 ya no sobran y por lo tanto x + 1 es múltiplo de 3.
Si se arman grupos de 5 sobran 4, entonces si dividimos x + 1 ya no sobran y por lo tanto x + 1 es múltiplo de 5.
Si se arman grupos de 4 no sobra ninguno, entonces x es múltiplo de 4.

Como x + 1 es múltiplo de 3 y  5, entonces es múltiplo de 3·5 = 15

Entonces buscamos un número que sea múltiplo de 15 y que disminuido en 1 sea múltiplo de 4:
15·1 = 15
15 - 1 = 14 no es múltiplo de 4
15·2 = 30
30 - 1 = 29 no es múltiplo de 4
15·3 = 45
45 - 1 = 44 si es múltiplo de 4

Entonces hay 44 alumnos

Si hubieran entre 50 y  100 alumnos haríamos lo mismo
15·4 = 60
60 - 1 = 59 no es múltiplo de 4
15·5 = 75
75 - 1 = 74 no es múltiplo de 4
15·6 = 90
90 - 1 = 89 no es múltiplo de 4
Así que no hay ningún número entre 50 y 100 que cumpla las condiciones.

Si hubiera entre 150 y 200, entonces sería
15·11 = 165
165 - 1 = 164 si es múltiplo de 4
Entonces serían 164 alumnos

Podemos observar que los números que cumplen las condiciones que nos dan son:
15·3 - 1 = 45 - 1 = 44
15·7 - 1 = 105 - 1 = 104
15·11 - 1 = 165 - 1 = 164
15·15 - 1 = 225 - 1 = 224
... 

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