Problema 120: Álgebra

Problema:

a² + b² + c² = 2   ∧   a³ + b³ + c³ = 3

Calcular $$S = \frac{(a+b+c)^{-1}\cdot(1-abc)}{2-ab-bc-ac}$$

Solución:

Primero tenemos que:
$$(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 2 + 2ab + 2bc + 2ac$$

Nosotros queremos tener 2 - ab - bc - ac , lo podemos conseguir así:
$$6-(a+b+c)^2 = 6 - (2 + 2ab + 2bc + 2ac)\\=4-2ab-2bc-2ac=2(2-ab-bc-ac)\\\to \frac{6-(a+b+c)^2}{2}=2-ab-bc-ac$$

Ahora desarrollamos la siguiente expresión:
$$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+6abc+3a^2b+3a^2b+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b\\=3+6abc+3a^2b+3a^2b+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b\\=3+6abc+3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)\\=3+6abc+3[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]\\=3+6abc+3[a^2(a+b+c)+b^2(a+b+c)+c^2(a+b+c)-a^3-b^3-c^3]\\=3+6abc+3[(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-3]=3+6abc+3[2(a+b+c)-3]\\=3+6abc+6(a+b+c)-9=6(a+b+c)+6abc-6\\=6(a+b+c)-6(1-abc)$$

$$(1-abc)=\frac{6(a+b+c)-(a+b+c)^3}{6}\\ \to (a+b+c)^{-1}\cdot(1-abc)=\frac{6(a+b+c)\cdot(a+b+c)^{-1}-(a+b+c)^3\cdot(a+b+c)^{-1}}{6}\\=\frac{6-(a+b+c)^2}{6}$$

Ahora ya podemos calcular lo que nos piden:
$$S = \frac{(a+b+c)^{-1}\cdot(1-abc)}{2-ab-bc-ac}\\=\frac{\frac{6-(a+b+c)^2}{2}}{\frac{6-(a+b+c)^2}{6}}=\frac{(1/2)}{(1/6)}=\frac{6}{2}=3$$

Entonces S = 3

Saludos! y Donen si pueden