Problema 121: Geometría

Problema:

Encontrar la tésis T) con la hipótesis H):

$$H)\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QB}\\T)AB=\frac{2AP\times AQ}{2AP+PQ}$$

Solución:

Tenemos lo siguiente:
$$\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QB}=\frac{AQ+AP}{QB+PB}\\=\frac{AP+PB+QB+AP}{PQ}=\frac{2AP+PQ}{PQ}$$
⇒
$$PB=\frac{AP\times PQ}{2AP+PQ}$$
⇒
$$PB+AP=\frac{AP\times PQ}{2AP+PQ}+AP\\=AB=\frac{AP \times PQ+AP\times(2AP+PQ)}{2AP+PQ}\\=\frac{AP\times (PQ+2AP+PQ)}{2AP+PQ}=\frac{AP\times (2AP+2PQ)}{2AP+PQ}\\=\frac{AP\times 2(AQ)}{2AP+PQ}=\frac{2AP\times AQ}{2AP+PQ}$$
⇒
$$\boxed{AB=\frac{2AP\times AQ}{2AP+PQ}}$$

Saludos! y Donen si pueden