Problema 128: Probabilidad y Estadística

Problema:

Supongamos que con una terapia para tratar el miedo a volar en avión se recupera el 80% de los pacientes. Si seleccionamos al azar a 16 pacientes que han acudido a su consulta de un psicólogo clínico con este tipo de fobia ¿cuál es la probabilidad de que al menos 11 se hayan recuperado y puedan tomar aviones?
Encontrar la solución binomial y por aproximación a la Normal

Solución:

Sea p = probabilidad de que se haya recuperado el paciente.
p = 0.8
La función de probabilidad de una distribución binomial es:
$P(X=k)=(^n_k)p^k(1-p)^{n-k}$
Esta distribución nos sirve para saber la probabilidad de tener "k" éxitos de un total de "n" intentos.
Nosotros buscamos la probabilidad de que al menos 11 se hayan recuperado de 16, es decir:
$P(X \geq 11)=\sum_{k=11}^{16}(^{16}_k)p^k(1-p)^{16-k}=\\=(^{16}_{11})0.8^{11}0.2^5+(^{16}_{12})0.8^{12}0.2^4+(^{16}_{13})0.8^{13}0.2^3+(^{16}_{14})0.8^{14}0.2^2\\+(^{16}_{15})0.8^{15}0.2^1+(^{16}_{16})0.8^{16}0.2^0=0.9183$

Ahora usando el Teorema Central de Límite haremos una aproximación a la Normal.
Para eso sabemos que la esperanza de una binomial es np y  su varianza es npq
Entonces:
E[X] = 16(0.8) = 12.8
Var(X) = 16(0.8)(1-0.8) = 2.56

Queremos calcular lo mismo:
$P(X \geq 11)=P( \frac{X-12.8}{ \sqrt{2.56} }  \geq  \frac{11-12.8}{ \sqrt{2.56} } )=\\P(Z \geq -1.125)=P(Z \leq 1.125)=.8697$
Z es una variable aleatoria Normal estándar 

La última probabilidad la puedes calcular con Excel usando esta función:
=DISTR.NORM.ESTAND.N(1.125,VERDADERO)
ó un aproximado con una tabla de la distribución Normal:

Saludos! y Donen si pueden