Ejercicio 32: Geometría

Problema:
Calcular el punto equidistante a los puntos A, B y C: 
A (-8,-5) 
B (-2, 6)
C (5, 2)

Solución:
Antes debes notar que esos 3 puntos forman un triángulo que está inscrito en una circunferencia. Así que en realidad lo que debes hacer es encontrar el radio y centro de esa circunferencia.


Debes usar la fórmula de la distancia entre dos puntos:
$$d= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

Supongamos que el centro está en (h,k):
$$d_1= \sqrt{(h+8)^2+(k+5)^2} \\d_2=\sqrt{(h+2)^2+(k-6)^2}\\d_3=\sqrt{(h-5)^2+(k-2)^2}$$

Igualas las distancias:
$$\sqrt{(h+8)^2+(k+5)^2}=\sqrt{(h+2)^2+(k-6)^2} \\ (h+8)^2+(k+5)^2=(h+2)^2+(k-6)^2\\h^2+16h+64+k^2+10k+25=h^2+4h+4+k^2-12k+36\\16h+10k+89=4h-12k+40\\12h+22k+49=0\\\\\sqrt{(h+2)^2+(k-6)^2}=\sqrt{(h-5)^2+(k-2)^2}\\(h+2)^2+(k-6)^2=(h-5)^2+(k-2)^2\\h^2+4h+4+k^2-12k+36=h^2-10h+25+k^2-4k+4\\4h-12k+40=-10h-4k+29\\14h-8k+11=0$$

Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que debes resolver:
14h - 8k + 11 = 0
12h + 22k + 49 = 0

$$h= \frac{-11+8k}{14} \\ 12( \frac{-11+8k}{14} )+22k+49=0 \\ 6( \frac{-11+8k}{7} )+22k+49=0\\6(-11+8k)+(7)22k+7(49)=0\\-66+48k+154k+343=0 \\ k=-277/202 \\ h= \frac{-11+8(-277/202)}{14}=- \frac{317}{202}$$

El centro de la circunferencia está en:
(-317/202 , -277/202)

Y ese centro es el punto que buscabas

Saludos! y Donen si pueden