Problema 96: Funciones

Problema:

Hallar el dominio de la siguiente función:
$$f(x)= \frac{3}{x-3} + \sqrt{ \frac{5x}{x^2-4} } $$

Solución:

La función no está definida cuando alguno de sus denominadores es cero. Entonces tenemos lo siguiente:
x - 3 ≠ 0
x ≠ 3

x² - 4 ≠ 0
(x + 2)(x - 2) ≠ 0
⇒ 
    x + 2 ≠ 0
    x ≠ -2

    x - 2 ≠ 0
    x ≠ 2

La función tampoco sólo está definida cuando lo que hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero:
5x/(x² - 4) ≥ 0
⇒ 
Esa fracción es positiva cuando el denominador y el numerador son negativos ó cuando el denominador y el numerador son positivos. Entonces está definida cuando:
Ambos términos positivos:
5x ≥ 0
x ≥ 0   
x∈[0,∞)

x² - 4 > 0
x² > 4
√x² > √4
|x| > 2
⇒ x > 2  ó  x < -2
⇒ x∈(-∞, -2)∪(2,∞)
Ambos términos son positivos en la intersección:
{(-∞, -2)∪(2,∞)}∩[0,∞) = (2,∞)

Ambos términos negativos:
5x < 0
x < 0
x∈(-∞,0)

x² - 4 < 0
x² < 4
√x² < √4
|x| < 2
-2 < x < 2
x ∈ (-2,2)
Ambos términos son negativos en la intersección:
(-∞,0)∩(-2,2) = (-2,0)

Entonces el dominio de la función es:
Dominio: (-2,0)∪(2,∞) / {-2,2,3}
Dominio: (-2,0)∪(2,∞) / {3}

Saludos! y Donen si pueden