Problema 122: Geometría Analítica

Problema:

A) Se sabe que la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1, 1), (0, 0) y (-1, 1). Calcula a, b y c.
B) Calcula m para que la parábola y = x² + mx + 10 pase por el punto V(3, 1). ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?
C) La parábola y = ax² + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c? Si además sabemos que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), ¿cómo calcularíamos a y b? Halla a y b

Solución:

A) Se sabe que la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1, 1), (0, 0) y (-1, 1). Calcula a, b y c.
Sólo debemos sustituir los puntos que nos dan en la ecuación y después encontrar los valores de a, b y c:
(1,1) ⇒ 1 = a + b + c
(0,0) ⇒ 0 = 0 + 0 + c 
(-1,1) ⇒ 1 = a - b + c

c = 0
1 = a + b
1 = a - b
1 + 1 = a + b + a - b
2 = 2a
a = 1
b = 1 - a = 1 - 1 = 0

a = 1 ; b = 0 ; c = 0

B) Calcula m para que la parábola y = x² + mx + 10 pase por el punto V(3, 1). ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?
Otra vez volvemos a sustituir:
1 = 3² + 3m + 10
1 = 9 + 3m + 10
1 - 19 = 3m
-18/3 = m
-6 = m
La ecuación es:  y = x² - 6x + 10

Para hallar los puntos de corte con el eje "x" debes sustituir y = 0; para hallar los puntos de corte con el eje "y" debes sustituir x = 0:
Puntos de corte con el eje "x":
0 = x² - 6x + 10
Usamos la fórmula general para hallar los valores de x:
$$x=\frac{6\pm\sqrt{6^2-4(1)(10)}}{2(1)}\\=\frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}$$
Como tenemos una raíz negativa eso significa que no hay puntos de corte con el eje "x"

Puntos de corte con el eje "y":
y = 0 - 0 + 10
y = 10
El punto es (0,10)

C) La parábola y = ax² + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c? Si además sabemos que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), ¿cómo calcularíamos a y b? Halla a y b y representa la parábola.
La parábola pasa por los puntos (0,0), (1,3) y (4,6)
Otra vez volvemos a sustituir:
0 = 0 + 0 + c
c = 0

y = ax² + bx 
3 = a(1)² + b(1) = a + b
6 = 16a + 4b ⇒ 3 = 8a + 2b

Resolvemos el sistema de ecuaciones:
3 = a + b
3 = 8a + 2b

⇒ 3 - 2(3) = 8a + 2b - 2(a + b)
3 - 6 = 8a + 2b - 2a - 2b
-3 = 6a
-3/6 = a
-1/2 = a

b = 3 - a = 3 - (-1/2)
b = 3 + 1/2 = 7/2

a = -1/2 ; b = 7/2

La ecuación de la parábola es:
y = (-1/2)x² + (7/2)x

Saludos! y Donen si pueden