Problema 123: Maximización

Problema:

1) Obtener el valor de dos números a y b cuya suma es 30 de tal manera que el producto del cuadrado de uno de ellos por el segundo sea el máximo. 

2)La demanda para un cierto tipo de cosmético dado por la expresión P=(500-x) donde "P" es el precio y "X" la cantidad de productos que se venden. Obtener: 
a) Una expresión que indique el ingreso. 
b) Cuál será la cantidad de cosméticos que se deben de vender para obtener el ingreso máximo

Solución:

1) La suma de los dos números es 30:
a + b = 30

El producto del cuadrado de uno de ellos por el segundo sea máximo:
Queremos maximizar $a^2b$

Primero sustituimos la primera ecuación que tenemos en la expresión que queremos maximizar:
b = 30 - a
$a^2(30-a)=30a^2-a^3$

Para maximizar esta expresión podemos diferenciar e igualar a cero para obtener los puntos críticos de la función:
$f(a) = 30a^2-a^3$
$f ' (a) = 60a - 3a^2$
$60a-3a^2=0$
$20-a=0$
$a=20$
$b=30-a=30-20=10$

Comprobamos que a=20 sea un punto máximo derivando y sustituyendo el valor que encontramos:
f '' (a) = 60 - 6a 
f '' (20) = 60 - 6(20) = -60
Como el resultado es un número negativo entonces podemos concluir que en a = 20 es un punto máximo.


2) La función de la demanda del producto es P = 500 - X
a) La función de ingreso se obtiene multiplicando el precio por la cantidad. En este caso sabemos que el precio P es igual a 500 - X y la cantidad de productos es X, entonces la función de ingreso es 
Ingreso = PX = X(500 - X) = 500X - X²

b) Para saber cuál es la cantidad de cosméticos que se deben vender para maximizar los ingresos debemos maximizar la función de ingreso derivando e igualando la expresión a cero:
I'(X) = 500 - 2X
500 - 2X = 0
500 = 2X
500/2 = X
250 = X

Volvemos a derivar para ver sí la segunda derivada es negativa y así asegurar que el punto es un máximo:
I''(X) = -2

Entonces se deben vender 250 cosméticos para maximizar los ingresos

Saludos! y Donen si pueden